摘要:半导体晶体作为各类电子器件的基础材料，它的发展对现代电子行业的发展起着重要的推动作用。为了探索生长高品质晶体的优化方案，建立了半浮区液桥的三维磁流体动力学模型，采用有限体积法数值研究了微重力环境下外加二极对非均匀旋转磁场对液桥表面张力对流的控制作用。研究结果表明，由二极对非均匀旋转磁场(7 mT， 50Hz)所产生的周向强迫搅拌作用，有效地提高了液桥的最大周向速度，同时抑制了液桥的最大轴向速度，该作用使无磁场作用下的三维液桥表面张力对流得到有效控制转变为二维轴对称定常流动。

半导体晶体是集成电路、激光器、光电器件等的主要基础材料，它的革新对现代化工业的发展起着决定性的作用。各种晶体制备方法中，浮区法由于无坩埚容器接触可以避免污染，是一种生长高纯度晶体的优势技术。重力环境下，一方面由重力引起的浮力流会导致晶体内产生微观不均匀性(生长条纹);另一方面，由于静压力的作用使得浮区熔体具有足够大的表面张力来维持熔区的稳定，该条件限制了生长晶体的尺寸。微重力环境下，由重力场引起的负面影响得到极大程度地降低，此时热浮力流随着重力的降低而极度衰减，浮区法也可以突破晶体尺寸的限制生长更大的晶体。然而，微重力环境下的浮区法晶体生长中，由非平衡表面张力驱动的表面张力流成为浮区熔体中的主要对流，也是生长高质量大尺寸单晶的关键性因素之一。

微重力环境下，低Prandtl(Pr)数的硅等半导体熔体在浮区中随着Marangoni(Ma)数的逐渐增大，其对流会产生两次失稳。相关研究报道该对流失稳会影响熔体组分的分布，导致生长晶体中微观条纹的产生，影响生长晶体的质量。由于半导体熔体具有良好的导电性，外加磁场可以作为一种控制表面张力对流的有效手段。现有的磁场对流控制方法中，旋转磁场由于其耗能小、控制效果明显而倍受关注。

旋转磁场根据其极对数的不同，可分为均匀旋转磁场(含有一对南、北磁极)和非均匀旋转磁场(二极对、三极对旋转磁场)等。目前，浮区法结晶技术中旋转磁场对流控制研究工作主要集中于均匀旋转磁场。Dold等实验研究了浮区法结晶技术中不同强度的均匀旋转磁场对掺杂硅晶体中杂质条纹的影响，研究表明，均匀旋转磁场作用下晶体中径向杂质条纹分布更加均匀、更加对称。其数值研究结果也表明，均匀旋转磁场作用下熔体的三维非定常流动得到有效控制转变为二维轴对称流动。Witkowski and Walker数值研究了浮区熔体对流在不同强度的均匀旋转磁场下的演化，研究报道了熔体对流由表面张力驱动占据主控制转为旋转磁场洛伦兹力占据主控制时，磁场强度的转变区域。Walker对均匀旋转磁场下的浮区熔体对流进行了线性稳定性分析，研究报道了任一旋转磁场作用下都存在一个临界Re数，超过该值，浮区熔体由轴对称定常流动转变为周期性振荡流动。本课题组研究了微重力下均匀旋转磁场对半浮区液桥表面张力对流的影响，结果表明均匀旋转磁场可以有效地控制由表面张力增强而导致的熔体对流的两次失稳。目前，非均匀旋转磁场在垂直Bridgman等晶体技术方面的应用已有相关的报道，但是，其在浮区法晶体生长中的对流控制研究工作基本空白。

目前，外加旋转磁场的对流控制模型主要包括无限长模型和有限长模型，有限长模型又包括有限长解析解模型和有限长-α模型。旋转磁场无限长模型忽略了熔体流动与磁场的耦合，仅仅考虑到洛伦兹力的周向分量，文献报道了采用该模型会使计算结果产生较大偏差。有限长解析解模型考虑了电势对熔体流动的影响而忽略了熔体流动对电势的影响，也仅保留了周向洛伦兹力。虽然由旋转磁场所引起的周向洛伦兹力对熔体对流的影响占据主要作用，但其它方向的洛伦兹力分量也是存在的。Priede首次提出有限长-α模型，该模型考虑到旋转磁场作用下熔体流动与外加磁场的耦合及洛伦兹力的所有分量。理论上来说，旋转磁场有限长-α模型具有更高的求解精度。二维轴对称条件下，Barz等采用有限长-α模型研究了横向旋转磁场对柱形熔体等热对流的影响，得到的数值结果与实验结果是一致的。

基于浮区法晶体生长中非均匀旋转磁场对流控制研究工作鲜有的现状，为了进一步完善外加旋转磁场对浮区熔体的对流控制的理论研究，笔者引用了有限长-α模型的思想，建立了三维磁流体动力学模型，研究了微重力下外加二极对非均匀旋转磁场对浮区熔体表面张力对流的控制作用。

1 物理和数学模型

半浮区液桥模型是研究浮区法晶体生长中熔体对流的一种简化模型，该模型由上下两个不同固定温度的同心圆盘固壁和液柱自由表面组成。半浮区液桥模型可以捕捉到浮区法晶体生长中浮区熔体的主要流动特性，因此，该模型在浮区法晶体生长的研究中得到广泛应用。本文所采用的圆柱型半浮区液桥模型如图1(a)所示。液桥高度为H，半径为R，其高径比As=H/R=1;上下边界分别为低温和高温圆形固壁(T_c 和 T_h)， ΔT = T_h - T_c > 0。由于浮区自由表面的动力学变形相对较小，在计算中忽略了自由表面动力学变形的影响，即假设计算过程中液桥是不变形的。液桥自由表面的表面张力假设为温度T的线性函数，表示形式为:

σ = σ_0 - γ_T (T - T_0)

其中，σ_0是T_0温度下的表面张力，γ_T是表面张力温度系数(γ_T = -∂σ/∂T > 0)。

液桥内熔体流动与传热的控制方程包括连续性方程、动量方程和能量方程。动量方程中包括了由表面张力驱动的热毛细力和外加旋转磁场产生的洛伦兹力。本文采用有限长-α模型来描述外加二极对非均匀旋转磁场。在该模型中，假设液桥处于随时间变化的磁场B中，磁场可由磁矢势A的旋度表示(B = ∇×A)。对于微重力下半浮区液桥外加二极对非均匀旋转磁场的对流控制问题，在柱坐标系(r， θ， z)下，磁场的磁矢势A可表示为:

A = B_0 r^{p-1} [sin(pθ - ωt)e_z - cos(pθ - ωt)e_θ]

其中B_0为旋转磁场强度幅值，ω为旋转磁场旋转角速度， ω=2πf (f为旋转频率)， p为旋转磁场的极对数(p=2)， e_z、e_θ分别表示z、θ方向的单位矢量。本文所采用的二极对非均匀旋转磁场强度B_0为7 mT，频率为50 Hz。该旋转频率使得磁场趋肤深度远大于液桥的半径，因此，可以假设该非均匀旋转磁场渗透到整个液桥熔区而不发生改变。