在 Young-Laplace 理论方程的基础上，Bashforth 和 Adams 通过进一步推导得到了悬滴法和躺滴法的表面张力测量工作方程，悬滴法的测量工作方程主要基于两个基本假设：1) 悬垂液滴在重力和表面张力的共同作用下处于平衡状态；2) 悬垂液滴的形状呈现完美的中心轴对称。对处于平衡状态的真实悬垂液滴，通过图像处理软件精准提取液滴的外形轮廓，以液滴顶点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图 1 所示，则液滴轮廓 d 点应满足的关系式为：

∆p₀ = ∆p_d + ∆ρgz (2)

∆p₀ = 2γk₀ (3)

∆p_d = γ(k_L + k_d) (4)

式中，∆p₀ 为参考点 O 处的液滴分界面处的内外压力差；∆p_d 为液滴表面 d 点处的液滴分界面处的内外压力差；∆ρ 为气液两相的密度差；g 为当地重力加速度，取值为 9.7967 m·s⁻²；k₀、k_L 和 k_d 分别为参考点 O 处的曲率、d 点在 Z − X 坐标平面的曲率以及 d 点在 Z − X 正交平面的曲率，其值分别为 k₀ = 1/R₀，k_L = dφ/ds 和 k_d = sinφ/x。

联立式(2)∼(4)，化简可得悬滴法的测量工作方程为：

dφ/ds = (2/R₀) − (sin φ)/x − (∆ρgz)/γ (5)

对式(5)进行无量纲化处理，即 S = s/R₀，X = x/R₀ 和 Z = z/R₀，并引入液滴形状因子 β = ∆ρgR₀²/γ，则式(5)可化简为：

dφ/dS = 2 − βZ − sin φ / X (6)

通过图像处理软件在液滴表面进行离散化取点，并采用非线性优化算法对上式进行精确的数据拟合，即可得到形状因子，从而根据气液两相密度差和顶点处的曲率半径获得该状态下的表面张力。

γ = (∆ρgR₀²) / β (7)

图 1 真实液滴的外形轮廓示意图

1.2 实验系统

本文所搭建的悬滴法表面张力实验系统的温度和压力适用范围为 223.15 ∼ 373.15 K 和 0 ∼ 15 MPa。实验系统示意图如图 2 所示，其主要包括实验装置本体、恒温槽、温度控制与测量系统、气体增压与压力测量系统、液滴控制系统、真空系统、图像采集和数据处理系统。

实验系统采用本体缠绕换热铜管且外接恒温槽的方式，通过恒温槽进行温度的精准控制，并在盘管与本体周围填充铜粉来增强实验装置的温度均匀性，待温度稳定后由 PT-100 高精度铂电阻温度传感器和精密测温仪获得实验装置的内部温度，其温度测量的不确定度优于 30 mK。为了避免低温环境中水蒸气在观察窗口处凝结而影响液滴图像的采集，本文设计了一种双夹层结构，并在中间区域密封了高纯氮气，从而避免了观察窗暴露在空气中的弊端。实验腔体内通过充气管路连接高压气瓶或充样罐进行增压，其压力大小可使用阀门和压力传感器进行控制，压力测量的不确定小于 20 kPa。

使用微量流体精准控制系统形成稳定的悬垂液滴，该系统主要由微单片机控制器、电机激励器、异步电机、星型减速机、刚性联轴器、螺纹增压泵和铝型固定件组成。通过使用较小内径的毛细管和异步电机转速的精准调控，可以实现在高压条件下稳定液滴的控制需求。经标定的毛细管外径为 1.6505 mm，不确定度为 0.0011 mm。同时，由数字相机、工业镜头、LED 背光源和 LED 光源控制器四部分组成了图像采集系统，结合宁波海曙迈时检测科技有限公司提供的 DropMeter V1.20 软件完成数据处理。图 3 为该软件的数据处理界面 DropMeter V1.20，该软件可读取液滴视频和图片文件，并能根据 Canny 算子自动检测待测液滴的基准线和外形轮廓线，通过最小二乘法实现外形轮廓的拟合和表面张力的计算，根据统计学原理给出表面张力的计算误差。悬垂液滴轮廓在通过图像分析软件进行拟合得到形状因子和顶点曲率半径时，会存在轮廓曲线拟合误差，根据 DropMeter V1.20 软件说明书可知，由软件拟合确定形状因子和顶点曲率半径所引入的相对不确定度分别为 0.05% 和 0.005%。

图 2 悬滴表面张力实验装置系统示意图

图 3 DropMeter V1.20 软件数据处理界面

考虑气液密度差、图像分析软件确定形状因子和顶点曲率半径误差、毛细管直径误差、温度测量不确定度以及压力测量不确定度，根据不确定度传递公式，其表面张力测量的扩展不确定度优于 ±0.1 mN·m⁻¹。